برچسب گذاری شده: اندازه گیری گسترش

انحراف استاندارد: اندازه گیری پراکندگی

انحراف معیار

انحراف استاندارد یک مفهوم گسترده در آمار است و می گوید چقدر تغییر (گسترش یا پراکندگی) در مجموعه داده ها چقدر است. می توان آن را به عنوان ریشه مربع مثبت میانگین (میانگین) انحراف مربع مقادیر از میانگین آنها تعریف کرد. برای محاسبه انحراف استاندارد ، باید این مراحل را دنبال کنید:

1. ابتدا میانگین داده ها را پیدا کنید.
2. تفاوت هر نقطه داده را از میانگین مجموعه داده های داده شده (که در مرحله 1 محاسبه می شود) بگیرید. توجه داشته باشید که ، به دلیل گرد شدن اعداد ، مجموع این اختلافات باید برابر با صفر یا نزدیک به صفر باشد.
3. اکنون تفاوت هایی را که در مرحله 2 به دست آمده است ، محاسبه شده است ، این بیشتر از صفر خواهد بود ، که من یک مقدار مثبت خواهم بود.
4. اکنون تمام مقادیر مربع به دست آمده در مرحله 3 را اضافه کنید. ما آن را مجموع مربع های اختلاف می نامیم.
5. در صورتی که مجبور شویم انحراف استاندارد جمعیت ($ sigma $) را محاسبه کنیم ، این تعداد مربع از اختلافات (به دست آمده در مرحله 4) را با تعداد کل مشاهده (موجود در داده ها) تقسیم کنید. اگر می خواهید t از انحراف استاندارد نمونه ($ S $) محاسبه کنید ، جمع مربع های اختلاف (به دست آمده در مرحله 4) را بر اساس تعداد کل مشاهده منهای یک ($-1 $) یعنی درجه آزادی تقسیم کنید. توجه داشته باشید $ n $ تعداد مشاهدات موجود در مجموعه داده ها است.
6. ریشه مربع (که به عنوان زیر ریشه نیز شناخته می شود) از مقدار به دست آمده در مرحله 5 پیدا کنید. مقدار حاصل از این روش به عنوان انحراف استاندارد برای مجموعه داده های داده شده شناخته می شود.

The sample standard deviation of a set of $n$ observation, $$X_1, X_2, cdots, X_n$$ denoted by $S$ is x08egin sigma &=sqrt^n (X_i-overline)^2>>؛جمعیت ، استاندارد ، انحراف \ s & = sqrt<frac^n (X_i-overline)^2>>؛نمونه ، استاندارد ، انحراف پایان انحراف استاندارد را می توان از واریانس نیز به عنوان $ s = sqrt $ محاسبه کرد.

معنای واقعی انحراف استاندارد این است که برای یک مجموعه داده های معین 68 ٪ از مقادیر داده در محدوده $ Overline PM Sigma $ یعنی در یک انحراف استاندارد از میانگین یا به سادگی در یک $ Sigma $ قرار خواهد گرفت. به طور مشابه ، 95 ٪ از مقادیر داده در محدوده $ Overline PM 2 Sigma $ و 99 ٪ در $ Overline PM 3 Sigma $ قرار دارند.

نمونه هایی از انحراف استاندارد و واریانس

مقدار زیادی از انحراف استاندارد نشان دهنده گسترش بیشتر در مجموعه داده ها است که می تواند به عنوان رفتار متناقض داده های جمع آوری شده تفسیر شود. این بدان معنی است که نقاط داده تمایل به دور از میانگین مقدار دارند. در مورد انحراف استاندارد کوچکتر ، نقاط داده تمایل به نزدیک بودن (بسیار نزدیک) دارند تا میانگین نشان دهنده رفتار مداوم مجموعه داده ها باشد. از انحراف استاندارد و واریانس هر دو برای اندازه گیری خطر یک سرمایه گذاری خاص در امور مالی استفاده می شود. میانگین 15 ٪ و انحراف استاندارد 2 ٪ نشان می دهد که انتظار می رود 15 ٪ بازده سرمایه گذاری را کسب کند و ما 68 ٪ احتمال دارد که بازده در واقع بین 13 تا 17 درصد باشد. به همین ترتیب ، 95 ٪ احتمال وجود دارد که بازده سرمایه گذاری 11 ٪ تا 19 ٪ بازده داشته باشد.

توسط محمد ایمداد اولله · منتشر شده در 12 اکتبر 2013 · آخرین اصلاح شده در 18 ژانویه 2020

دامنه: اندازه گیری پراکندگی

اندازه گیری گرایش مرکزی مقدار معمولی در مورد مجموعه داده ها را ارائه می دهد ، اما داستان واقعی در مورد داده ها را بیان نمی کند ، یعنی میانگین و حالت برای به دست آوردن اطلاعات خلاصه کافی است ، اگرچه ما در مورد مرکز داده ها می دانیم. به عبارت دیگر ، ما می توانیم با نگاه به میانگین (میانگین ، متوسط ، حالت) ، مرکز داده ها را اندازه گیری کنیم. این اندازه گیری چیزی در مورد گسترش داده ها نمی گوید. بنابراین برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد داده ها ، به اقدامات دیگری مانند اندازه گیری پراکندگی یا گسترش نیاز داریم.

گسترش داده ها را می توان با محاسبه دامنه داده ها اندازه گیری کرد. دامنه به ما بگویید که چه تعداد از داده ها گسترش می یابد. دامنه (یک اندازه گیری مطلق پراکندگی) را می توان با کم کردن بالاترین مقدار (به نام Upper Bound) در داده ها از کوچکترین مقدار (به نام Lower Bound) در داده ها یافت. یعنی

دامنه = حد بالایی - کمترین محدودیت یا دامنه = بزرگترین مقدار - کمترین مقدار

این اندازه گیری مطلق پراکندگی دارای مضرات است زیرا دامنه فقط عرض مجموعه داده ها (یعنی فقط پخش شده) را در همان واحد داده ها اندازه گیری می کند ، اما تصویر واقعی از نحوه توزیع داده ها را نشان نمی دهد. اگر داده ها دارای فضای دور باشد ، استفاده از محدوده برای توصیف گسترش آن می تواند بسیار گمراه کننده باشد زیرا دامنه به دور از دسترس حساس است. بنابراین ما باید در استفاده از دامنه مراقب باشیم زیرا این تصویر کامل از آنچه بین بالاترین و کمترین مقدار می گذرد ، ارائه نمی دهد. این ممکن است تصویری گمراه کننده از گسترش داده ها ایجاد کند زیرا فقط بر اساس دو مقدار شدید استوار است. بنابراین این یک معیار رضایت بخش از پراکندگی است.

با این حال ، دامنه به طور گسترده ای در کنترل فرآیند آماری مانند نمودارهای کنترل محصولات تولیدی ، دمای روزانه ، قیمت سهام و غیره ، برنامه های کاربردی مورد استفاده قرار می گیرد زیرا محاسبه آن بسیار آسان است. این یک اندازه گیری مطلق پراکندگی است ، اندازه گیری بستگان آن که به عنوان ضریب پراکندگی شناخته می شود ، رابطه را تعریف می کند

ضریب پراکندگی یک بعد خالص است و برای مقایسه با هدف استفاده می شود.

توسط محمد ایمداد اولله · منتشر شده در 25 مه 2013 · آخرین اصلاح شده در 27 فوریه 2022

اندازه گیری مطلق پراکندگی

اندازه گیری مطلق پراکندگی ایده ای در مورد میزان پراکندگی/ گسترش در مجموعه ای از مشاهدات ارائه می دهد. این مقادیر پراکندگی را در همان واحدهای واحد داده های اصلی اندازه گیری می کنند. از اقدامات مطلق نمی توان برای مقایسه تغییر دو یا چند مجموعه سری/ داده استفاده کرد. اندازه گیری پراکندگی مطلق به خودی خود نمی گوید که آیا این تغییر بزرگ است یا کوچک.

معمولاً از اندازه گیری مطلق پراکندگی استفاده می شود:

1. دامنه
2. انحراف چهارگوش
3. انحراف متوسط
4. واریانس یا انحراف استاندارد

جزئیات مربوط به این اقدامات مطلق پراکندگی یا گسترش عبارتند از:

دامنه

دامنه تفاوت بین بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار در مجموعه داده است. برای داده های غیر گروهی ، بگذارید $ x_0 $ کوچکترین مقدار باشد و $ x_n $ بزرگترین مقدار در یک مجموعه داده است و محدوده (r) به عنوان $ r = x_n-x_0 $ تعریف می شود.

برای محدوده داده های گروهی می توان به سه روش مختلف R = میانی بالاترین کلاس محاسبه کرد - میانی پایین ترین کلاس R = حد کلاس بالایی بالاترین کلاس - حد کلاس پایین کلاس پایین R = مرز طبقه بالایی بالاترینکلاس - مرز طبقه پایین پایین ترین کلاس

انحراف کوارتیل (دامنه نیمه مداخله)

انحراف کوارتیل به عنوان تفاوت بین کوارتل های سوم و اول تعریف شده است و نیمی از این محدوده محدوده نیمه متقابل (SIQD) یا انحراف کوارتیل (QD) نامیده می شود.$ qd = frac $ انحراف کوارتیل از نظر دامنه برتر است زیرا تحت تأثیر مشاهدات بسیار بزرگ یا کوچک قرار نمی گیرد ، به هر حال هیچ اطلاعاتی در مورد موقعیت مشاهده که در خارج از دو مقدار قرار دارد ، نمی دهد. این امر برای درمان ریاضی قابل تحمل نیست و تحت تأثیر تغییرپذیری نمونه برداری قرار دارد. اگرچه از انحراف کوارتیل به عنوان معیار پراکندگی استفاده نمی شود ، اما در شرایطی استفاده می شود که در آن تصور می شود مشاهدات شدید نمایانگر/ گمراه کننده است. انحراف کوارتیل مبتنی بر تمام مشاهدات نیست ، بنابراین تحت تأثیر مشاهدات شدید قرار می گیرد.

توجه: دامنه "میانه ± QD" تقریباً 50 ٪ از داده ها را شامل می شود.

میانگین انحراف (انحراف متوسط)

میانگین انحراف به عنوان میانگین حسابی از انحرافات اندازه گیری شده از میانگین یا از میانه تعریف می شود. تمام این انحرافات برای جلوگیری از دشواری ناشی از این خاصیت که جمع انحراف مشاهدات از میانگین آنها صفر است ، به عنوان مثبت شمرده می شوند.$ md = frac<sum|X-overline|>quad$ for ungrouped data for mean $MD=frac|>quad$ for grouped data for mean $MD=frac|>quad$ for ungrouped data for median $MD=frac|> Quad $ برای داده های گروه بندی شده برای میانگین انحراف می تواند در مورد سایر تمایلات اصلی محاسبه شود اما حداقل در هنگام انحراف به عنوان میانه است.

میانگین انحراف اطلاعات بیشتری نسبت به دامنه یا انحراف کوارتیل دارد زیرا بر اساس تمام مقادیر مشاهده شده است. میانگین انحراف وزن ناعادلانه به انحرافات بزرگ گاه به گاه نمی دهد ، بنابراین احتمالاً باید در شرایطی که احتمالاً چنین انحرافاتی رخ می دهد استفاده شود.

واریانس و انحراف استاندارد

این اندازه گیری مطلق پراکندگی به عنوان میانگین مربع انحراف از تمام مشاهدات از میانگین آنها تعریف شده است. به طور سنتی برای واریانس جمعیت توسط $ sigma^2 $ (میدان سیگما) و برای داده های نمونه مشخص شده توسط $ s^2 $ یا $ s^2 $ مشخص می شود. به طور نمادین $ sigma^2 = frac<sum(X_i-mu)^2> چهار $ واریانس جمعیت برای داده های غیر گروهی $ s^2 = frac<sum(X_i-overline)^2>quad$ sample Variance for ungrouded data $sigma^2=fracquad$ Population Variance for grouped data $sigma^2=frac)^2> $ واریانس نمونه برای داده های گروه بندی شده

واریانس توسط VAR (x) برای متغیر تصادفی X مشخص شده است. اصطلاح واریانس توسط R. A. Fisher (1982-1982) در سال 1918 معرفی شد. واریانس در مربع واحدها است و واریانس در مقایسه با خود مشاهده تعداد زیادی است. توجه داشته باشید که فرمول های جایگزین برای محاسبه واریانس یا انحراف استاندارد وجود دارد.

ریشه مربع مثبت واریانس برای بیان انحراف در همان واحدهای مشابه خود مشاهده اصلی ، انحراف استاندارد (SD) نامیده می شود. این یک اندازه گیری از میانگین گسترش در مورد میانگین است و به طور نمادین به عنوان $ sigma^2 = sqrt تعریف می شود<frac<sum(X_i-mu)^2>> $ استاندارد جمعیت برای داده های غیر گروهی $ s^2 = sqrt<frac<sum(X_i-overline)^2>>quad$ Sample Standard Deviation for ungrouped data $sigma^2=sqrt>quad$ Population Standard Deviation for grouped data $sigma^2=sqrt)^2>>quad$ Sample Standard Deviation for grouped data Standard Deviation is the most useful measure of dispersion is credited with the name Standard Deviation by Karl Pearson (1857-1936). In some text Sample, Standard Deviation is defined as $S^2=frac)^2>$ بر اساس این استدلال که دانش هر انحراف $ $ $ ، انحرافات باقی مانده را تعیین می کند زیرا مجموع انحرافات N باید صفر باشد. در حقیقت ، این یک برآوردگر بی طرفانه از واریانس جمعیت $ sigma^2 $ است. انحراف استاندارد دارای یک اندازه گیری ریاضی قطعی است ، از تمام مقادیر مشاهده شده استفاده می کند و برای درمان ریاضی قابل تحمل است اما تحت تأثیر مقادیر شدید قرار دارد.

• http://en. wikipedia. org/wiki/statistical_dispersion
• http://www. scribd. com/doc/219321830/absolute-measure-of-dispersion