انتظار ریاضی

"انتظار ریاضی" یکی از معدود موضوعاتی است که به ندرت در جزئیات در هر برنامه درسی مورد بحث قرار می گیرد ، اما با این وجود بسیار مهم است. این آموزش سعی می کند با بحث در مورد چند مشکل مربوط به ریاضی و برنامه نویسی ، برخی از این موضوع را روشن کند.

تئوری

انتظار ریاضی یک مفهوم مهم در تئوری احتمال است. از نظر ریاضی ، برای یک متغیر گسسته x با عملکرد احتمال p (x) ، مقدار مورد انتظار e [x] توسط σ x داده می شود_iP(x_i) جمع بندی بیش از تمام مقادیر متمایز x انجام می شود_iکه متغیر می تواند داشته باشد. به عنوان مثال ، برای یک آزمایش تاس پرتاب ، مجموعه نتایج گسسته است<1,2,3,4,5,6>و هر یک از این نتیجه احتمال 1/6 را دارد. از این رو ، مقدار مورد انتظار این آزمایش 1/6*(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 3. 5 خواهد بود. برای متغیر مداوم X با عملکرد چگالی احتمال P (x) ، مقدار مورد انتظار E [x] توسط ∫ xp (x) dx داده می شود.

درک این نکته حائز اهمیت است که "مقدار مورد انتظار" برابر با "محتمل ترین ارزش" نیست - بلکه لازم نیست حتی یکی از مقادیر احتمالی باشد. به عنوان مثال ، در یک آزمایش تاس پرتاب ، مقدار مورد انتظار ، یعنی 3. 5 به هیچ وجه یکی از نتایج ممکن نیست.

قانون "خطی بودن انتظار" می گوید که E [x1 + x2] = e [x1] + e [x2].

چالش ها و مسائل

1. تعداد مورد انتظار تلنگر سکه برای گرفتن سر چیست؟

بگذارید تعداد مورد انتظار تلنگر سکه x باشد. سپس می توانیم معادله ای برای آن بنویسیم - الف. اگر اولین تلنگر سر باشد ، پس ما تمام می شویم. احتمال این رویداد 1/2 و تعداد تلنگر سکه برای این رویداد است. 1. b. اگر اولین تلنگر دم باشد ، ما یک تلنگر را هدر داده ایم. از آنجا که تلنگر های متوالی رویدادهای مستقل هستند ، راه حل در این حالت می تواند از نظر X به صورت بازگشتی قاب بندی شود - احتمال این رویداد 1/2 و تعداد مورد انتظار سکه ها در حال حاضر به بعد x است. اما ما قبلاً یک تلنگر را هدر داده ایم ، بنابراین تعداد کل تلنگر X+1 است.

مقدار مورد انتظار x مجموع مقادیر مورد انتظار این دو مورد است. با استفاده از قاعده آستانه انتظار و تعریف ارزش مورد انتظار ، ما می گیریم

x = (1/2) (1) + (1/2) (1 + x) حل ، x = 2 دریافت می کنیم.

بنابراین تعداد مورد انتظار تلنگر سکه برای گرفتن سر 2 است.

Q2تعداد مورد انتظار تلنگر سکه برای گرفتن دو سر متوالی چیست؟بگذارید تعداد مورد انتظار تلنگر سکه x باشد. تجزیه و تحلیل مورد به شرح زیر است: الف. اگر اولین تلنگر یک دم باشد ، ما یک تلنگر را هدر داده ایم. احتمال این رویداد 1/2 و تعداد کل فلیپس مورد نیاز x+1 b است. اگر تلنگر اول یک سر باشد و تلنگر دوم یک دم باشد ، ما دو فلیپ هدر داده ایم. احتمال این رویداد 1/4 و تعداد کل فلیپس مورد نیاز x+2 c است. اگر تلنگر اول سر باشد و تلنگر دوم نیز سر باشد ، پس ما تمام می شویم. احتمال این رویداد 1/4 و تعداد کل تلنگر مورد نیاز 2 است.

اضافه کردن ، معادله ای که می گیریم - x = (1/2) (x + 1) + (1/4) (x + 2) + (1/4) 2

حل ، x = 6 دریافت می کنیم.

بنابراین ، تعداد مورد انتظار تلنگر سکه برای گرفتن دو سر متوالی 6 است.

Q3.(تعمیم) تعداد مورد انتظار تلنگر سکه برای دریافت N سر متوالی ، با توجه به n چیست؟بگذارید تعداد زیادی از سکه های سکه x باشد. بر اساس تمرینات قبلی ، ما می توانیم کل تجزیه و تحلیل مورد را در دو بخش اساسی باد کنیم

الف) اگر اول ، 2 ، 3 را بدست آوریم. N'th Tail به عنوان اولین دم در آزمایش ، سپس باید دوباره همه را شروع کنیم. ب) در غیر این صورت ما تمام شد.

برای تلنگر 1 به عنوان دم ، بخشی از معادله (1/2) (x+1) برای 2 تلنگر به عنوان دم است ، بخشی از معادله (1/4) (x+2) است. برای تلنگر K'th به عنوان دم ، بخشی از معادله (1/(2 K)) (x+k) است. برای تلنگر NTH به عنوان دم ، بخشی از معادله (1/(2 n)) (x+n) بخشی از معادله است که به پرونده (b) پاسخ می دهد (1/(2 n)) (n)

حل این معادله به عنوان یک تمرین برای خواننده باقی مانده است. کل معادله را می توان به راحتی به شکل زیر کاهش داد:

بنابراین ، تعداد مورد انتظار تلنگر سکه برای دریافت N سر متوالی (2 N+1 - 2) است.

Q4نامزدها برای مصاحبه یکی پس از دیگری حضور دارند. احتمال انتخاب هر نامزد 0. 16 است. تعداد مورد انتظار کاندیداهای مورد نیاز شما برای مصاحبه برای اطمینان از انتخاب شخصی چیست؟این بسیار شبیه به Q1 است ، تنها تفاوت این است که در این حالت سکه مغرضانه است.(احتمال سرها 0. 16 است و از ما خواسته می شود که برای گرفتن سر ، تعداد تلنگر سکه را پیدا کنیم). بگذارید X تعداد مورد انتظار نامزدها برای انتخاب انتخاب شود. احتمال انتخاب نامزد اول 0. 16 و تعداد کل مصاحبه های انجام شده در این مورد 1 است. مورد دیگر این است که نامزد اول رد می شود و ما دوباره شروع می کنیم. احتمال آن (1-0. 16)*(x+1) است. معادله بدین ترتیب می شود -

حل ، x = 1/0. 16 ، یعنی x = 6. 25

Q5(نسخه عمومی Q4)-ملکه یک لانه زنبور عسل فرزندان یک نفر دیگر را تولید می کند تا اینکه فرزندان مرد تولید کند. احتمال تولید فرزندان مرد ص. تعداد پیش بینی شده فرزندان مورد نیاز برای تولید فرزندان مرد چیست؟این همان سؤال قبلی است ، به جز این که شماره 0. 16 جایگزین P است. مشاهده کنید که معادله اکنون می شود -

x = p + (1-p)*(x + 1) حل ، x = 1/p

بنابراین ، مشاهده کنید که در مشکلاتی که دو رویداد وجود دارد ، جایی که یک رویداد مطلوب است و موارد دیگر نامطلوب است و احتمال وقوع مطلوب P است ، پس تعداد مورد انتظار آزمایشات انجام شده برای به دست آوردن رویداد مطلوب 1/P است

تعمیم تعداد رویدادها - اگر رویدادهای K وجود داشته باشد ، جایی که یک رویداد مطلوب است و سایر افراد نامطلوب هستند و احتمال وقوع مطلوب P است ، پس از آن تعداد مورد انتظار آزمایش های انجام شده برای به دست آوردن رویداد مطلوب 1/P است

سوال بعدی از این تعمیم استفاده می کند -

Q6. تعداد مورد انتظار پرتاب های تاس مورد نیاز برای بدست آوردن "چهار" چیست؟بگذارید تعداد مورد انتظار پرتاب های x باشد. رویداد مطلوب (گرفتن "چهار") احتمال 1/6 (زیرا هر صورت قابل تجهیز است). 5 رویداد نامطلوب دیگر وجود دارد (K = 5). توجه داشته باشید که مقدار پاسخ نهایی به K. بستگی ندارد. پاسخ بنابراین 1/(1/6) یعنی 6 است.

Q7. Candidates برای مصاحبه یکی پس از دیگری ظاهر می شوند. احتمال انتخاب نامزد K-TH 1/(K+1) است. تعداد مورد انتظار کاندیداهای مورد نیاز شما برای مصاحبه برای اطمینان از انتخاب شخصی چیست؟نتیجه این تعداد تعداد نامحدود موارد خواهد بود -

مورد 1: نامزد اول انتخاب می شود. احتمال این رویداد 1/2 و تعداد مصاحبه ها 1. مورد 2 است. نامزد دوم انتخاب می شود. احتمال این رویداد 1/6 است (= 1/2 از نامزد اول انتخاب نشده و 1/3 از نامزد دوم انتخاب شده ، ضرب و شتم با هم 1/6 می دهد) و تعداد مصاحبه ها 2 مور د-3 است. نامزد سوم انتخاب می شود. احتمال این رویداد 1/2 * 2/3 * 1/4 = 1/12 است (= اول انتخاب نمی شود و دوم انتخاب نمی شود و سوم انتخاب می شود) و تعداد مصاحبه ها 3 است. مورد kنامزد K'th انتخاب می شود. احتمال این رویداد 1/2 * 2/3 * 3/4 * است.* (K-1)/K * 1/(K+1).(اولین نامزدهای K-1 رد می شوند و نامزد K'th انتخاب می شود). این به 1/(k*(k+1)) ارزیابی می شود و تعداد مصاحبه ها k است.

[توجه داشته باشید که مشابه مشکل 4 ، در اینجا ما فقط نمی توانیم بگوییم - اگر نامزد اول رد شود ، ما دوباره کل مراحل را شروع خواهیم کرد. این درست نیست ، زیرا احتمال هر نامزد به شماره توالی آن بستگی دارد. از این رو ، آزمایش های فرعی مشابه آزمایش والدین نیستند. این بدان معنی است که همه موارد باید صریحاً مورد توجه قرار گیرند.] بیان نتیجه خواهد بود

x = 1/(1*2) + 2/(2*3) + 3/(3*4) + 4/(4*5) +.+ k/(k*(k + 1)) +.= 1/2 + 1/3 + 1/4 +.

این یک سری واگرا شناخته شده است ، به این معنی که جمع همگرا نمی شود و از این رو انتظار وجود ندارد.

Q8: یک مجوز تصادفی P از [1. n] باید به ترتیب صعودی مرتب شود. برای انجام این کار ، در هر مرحله به طور تصادفی یک جفت (i ، j) را در جایی که من انتخاب می کنیدP [j] ، و p [i] را با p [j] مبادله کنید. تعداد مورد انتظار مبادلات مورد نیاز برای مرتب سازی جابجایی به ترتیب صعودی چیست.(ایده: topcoder)

این یک سوال برنامه نویسی است ، و ایده ساده است - از آنجا

جایی که CNT تعداد کل مبادلات ممکن در مجوز P و P است_{s ­­­­­­­­­}جایگشت است که با انجام مبادله "S" ایجاد می شود. از آنجا که همه مبادله ها قابل استفاده هستند ، ما به سادگی مقادیر مورد انتظار از مجوزهای حاصل را خلاصه می کنیم (البته 1 را به هر یک اضافه کنید تا مبادله ای را که قبلاً انجام شده است را به حساب می آوریم) و نتیجه را بر اساس تعداد کل مجوزها تقسیم می کنیم. پرونده پایه برای آرایه ای است که قبلاً مرتب شده است - و تعداد مورد انتظار برای یک آرایه مرتب شده 0 است.

برنامه نویسی این به عنوان یک تمرین (بی اهمیت) برای خواننده باقی مانده است.

Q9. یک آزمایش تلنگر سکه منصفانه n بار انجام می شود. تعداد مورد انتظار سرها چیست؟آزمایشی برای چرخش یک سکه عادلانه در نظر بگیرید و بگذارید نتایج توسط آرایه z = 1 نشان داده شود, a₂. ,a>جایی که هر یک_iبسته به اینکه نتیجه به ترتیب سر باشد یا دم باشد ، 1 یا 0 است. به عبارت دیگر ، برای هر یک از من -

ai = اگر آزمایش ITH به سر خود 2 1 مورد دیگر 0.

از این رو ما: تعداد سر در z = a1 + a2 +.+ از این رو E [تعداد سر در Z] = E [A1 + A2 +.+ an] = e [a1] + e [a2] +.+ e [an]

از آنجا که AI با یک آزمایش سکه-TOSS مطابقت دارد ، مقدار E [AI] برای هر I 0. 5 است. با افزودن این n بار ، تعداد مورد انتظار سر در Z به N/2 می رسد.

Q10: (محاکمات برنالی) از دانشجویان خواسته می شود که از 1 تا 100 فراگیر شماره ای را انتخاب کنند. تعداد مورد انتظار دانش آموزانی که یک شماره رقمی را انتخاب می کنند چیست؟

این سؤال بر اساس مفهوم آزمایشات برنالی استوار است. اگر دقیقاً دو نتیجه داشته باشد ، آزمایش برنالی نامیده می شود که یکی از آنها مورد نظر است. به عنوان مثال - تلنگر یک سکه ، انتخاب یک عدد از 1 به 100 برای بدست آوردن نخست ، یک تاس برای گرفتن 4 و غیره. نتیجه یک آزمایش Beaulli به طور معمول می تواند به عنوان "بله/خیر" یا "موفقیت/شکست" ارائه شود. ما در Q5 در بالا مشاهده کردیم که اگر احتمال موفقیت یک آزمایش Beaulli P باشد ، تعداد مورد انتظار آزمایشات برای موفقیت 1/p است. است

این سؤال براساس نتیجه دیگری در رابطه با آزمایشات برنالی است - اگر احتمال موفقیت در یک آزمایش برنالی P باشد ، تعداد مورد انتظار موفقیت ها در آزمایشات n n*p است. اثبات ساده است -

تعداد موفقیت ها در آزمایشات n = (اگر آزمایش 1 موفقیت آمیز باشد ، 1 مورد دیگر 0) +.+ (اگر محاکمه نهم موفقیت باشد ، 1 مورد دیگر 0) مقدار مورد انتظار هر براکت 1*P + 0*(1-p) = p است. بنابراین تعداد مورد انتظار موفقیت ها در آزمایشات n n*p است.

در مورد فعلی ، "موفقیت" به عنوان آزمایشی تعریف می شود که یک شماره رقمی واحد را انتخاب می کند. از آنجا که همه گزینه ها قابل استفاده هستند ، احتمال موفقیت 9/100 است.(9 عدد تک رقمی در 1 تا 100 وجود دارد). از آنجا که دانش آموزان N وجود دارند ، تعداد مورد انتظار دانش آموزانی که به موفقیت کمک می کنند (یعنی تعداد مورد انتظار موفقیت ها) N*9/100 است

Q11. تعداد مورد انتظار تلنگر سکه برای اطمینان از وجود سر N در N حداقل چیست؟راه حل به راحتی می تواند به صورت بازگشتی قاب بندی شود -

n heads = اگر تلنگر اول سر باشد ، N-1 سرهای بیشتر ، در غیر این صورت N بیشتر سر. احتمال ابتلا به سر 1 1/2 است. بدین ترتیب

E[N] = (1/2)(E[N-1]+1)+ (1/2)(E[N] + 1) توجه داشته باشید که برای محاسبه اولین تلنگر، هر عبارت 1 به آن اضافه شده است.

حالت پایه زمانی است که N = 1 : E[1] = 2 (همانطور که در Q2 بحث شد)

Simplifying the recursive case, E[N] = (1/2)( E[N-1] +1 + E[N] + 1) = (1/2)( E[N-1] + E[N] + 2) => 2 * E[N] = ( E[N-1] + E[N] + 2) =>E[N] = E[N-1] + 2

از آنجایی که E[1] = 2، E[2] = 4، E[3] = 6. به طور کلی E[N] = 2N. بنابراین، تعداد مورد انتظار سکه ها ورق می خورد تا اطمینان حاصل شود که حداقل N سر در 2N وجود دارد.

مسئله بعدی یک تعمیم را مورد بحث قرار می دهد:

Q12. اگر احتمال هر موفقیت p باشد، تعداد مورد انتظار آزمایش برنولی برای اطمینان از وجود حداقل N موفقیت چقدر است؟معادله بازگشتی در این حالت -

حل، E[N]-E[N-1] = p. نوشتن مجموع معادلات N-1:

با افزودن همه آنها، E[N] - E[1] = (n-1)/p. اما E[1] 1/p (ل م-1) است. بنابراین E[N] = n/p.

اخلاقی: اگر احتمال موفقیت در آزمایش برناولی p باشد، تعداد مورد انتظار آزمایش برای تضمین موفقیت N N/p است.

این بحث در مورد مسائل مربوط به انتظارات ریاضی را کامل می کند.

تمرینات:

توجه: برخی از این موارد بی اهمیت هستند و نیاز به مفاهیمی دارند که در این آموزش توضیح داده نشده است. اگر علاقه مند هستید، می توانید در مورد اصول توزیع احتمال، مباحث پیشرفته تر مانند توزیع ها و تبدیل های مشترک و دو متغیره و آموزش جایگشت ها و ترکیب ها مطالعه کنید.

1. یک بازی شامل انتخاب یک عدد (بین 1 تا 6) و سپس پرتاب سه تاس منصفانه به طور همزمان است. اگر هیچ یک از تاس ها عددی را که انتخاب کرده اید نشان ندهد، 1 دلار از دست می دهید. اگر دقیقاً یک، دو یا سه تاس عددی را که انتخاب کرده اید نشان دهد، به ترتیب 1، 3 یا 5 دلار برنده می شوید. سود مورد انتظار شما چیست؟

2. در یک باغ 10 گل وجود دارد که دقیقا یکی از آنها سمی است. یک سگ به طور تصادفی شروع به خوردن همه این گل ها می کند. هر گاه گل سمی را بخورد می میرد. تعداد گل هایی که او قبل از مرگش می خورد چقدر است؟

3. یک کیسه حاوی 64 توپ از 8 رنگ مختلف است که از هر رنگ 8 توپ تشکیل شده است. تعداد مورد انتظار توپ هایی که باید انتخاب کنید (بدون نگاه کردن) برای انتخاب سه توپ همرنگ چقدر است؟

4. در یک بازی پرتاب تاس منصفانه، تعداد مورد انتظار پرتاب چقدر است تا مطمئن شوید که هر 6 نتیجه حداقل یک بار ظاهر می شود؟

5. اگر احتمال هر موفقیت p باشد، تعداد مورد انتظار آزمایش برنولی برای کسب N موفقیت متوالی با توجه به N چقدر است؟

فقط در صورتی که کسی نیاز به تئوری احتمال خود داشته باشد، ممکن است این آموزش ها برای شما مفید باشد. به ویژه، با توجه به اهمیت زیاد علم داده، احتمال و آمار برای دانشمندان رایانه و داده مهم است.